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https://groups.csail.mit.edu/cap/wiki/data/media/?july=view-from-the-bridge-essay-help&or=129 Parlons espéranto : La langue internationale

L'espéranto, langue internationale présente dans plus de one hundred twenty will pay, est aujourd'hui une des langues les plus parlées du monde. los angeles communauté espérantophone, non contente de faire de l'espéranto une langue vivante, de compter de plus en plus d'espérantophones dont l. a. langue maternelle est l'espéranto, élabore progressivement une tradition transnationale (littéraire, musicale.

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Traduire l'hypothèse : lim f(X) ϭL. X→X 0 • Noter que : L ʦ ෆf(ෆA ෆ)ෆ ⇔ ∀ ␧ Ͼ 0, B(L ; ␧) ʝ f(A) л. INDICATIONS ET SOLUTIONS 63 2570_02_xp_p37_78 28/06/07 16:44 Page 64 solution 1. • L'hypothèse X0 ʦ ෆ A assure : ∀ ␣ Ͼ 0, (1) ∃ X ʦ A / ||X Ϫ X0|| < ␣. indications et solutions • Nous avons par hypothèse : f(X) ϭ L. lim X→X 0 Soit ␧ Ͼ 0. On a alors : (2) ∃ ␣ Ͼ 0 / X ʦ A et ||X Ϫ X0|| < ␣ ⇒ ||f(X) Ϫ L|| Ͻ ␧. Remarquons que : X ʦ A ⇒ f(X) ʦ f(A). Par ailleurs : || f(X) Ϫ L|| Ͻ ␧ ⇔ f(X) ʦ B (L ; ␧).

19 indications 1. • Traduire l'hypothèse : lim f(X) ϭL. X→X 0 • Noter que : L ʦ ෆf(ෆA ෆ)ෆ ⇔ ∀ ␧ Ͼ 0, B(L ; ␧) ʝ f(A) л. INDICATIONS ET SOLUTIONS 63 2570_02_xp_p37_78 28/06/07 16:44 Page 64 solution 1. • L'hypothèse X0 ʦ ෆ A assure : ∀ ␣ Ͼ 0, (1) ∃ X ʦ A / ||X Ϫ X0|| < ␣. indications et solutions • Nous avons par hypothèse : f(X) ϭ L. lim X→X 0 Soit ␧ Ͼ 0. On a alors : (2) ∃ ␣ Ͼ 0 / X ʦ A et ||X Ϫ X0|| < ␣ ⇒ ||f(X) Ϫ L|| Ͻ ␧. Remarquons que : X ʦ A ⇒ f(X) ʦ f(A). Par ailleurs : || f(X) Ϫ L|| Ͻ ␧ ⇔ f(X) ʦ B (L ; ␧).

0, 0) ; Étudier la continuité puis la différentiabilité de f sur ‫ޒ‬2. 11 Soit : f : ‫ޒ‬2 → ‫ޒ‬ (x, y) ‫ۋ‬ Ά x3 ln (1 ϩ y2) ᎏ ᎏ x2 ϩ y2 si (x, y) 0 sinon. (0, 0) ; Étudier la différentiabilité de f sur ‫ޒ‬2. 12 On considère la fonction f définie sur ‫ޒ‬2 par : f(x, y) ϭ Ά (ln (1 ϩ ΈxyΈ))2 ᎏᎏ x2 ϩ ΈyΈ si (x, y) 0 sinon. (0, 0) ; → 1. Étudier la dérivée de f en 0 suivant toute direction. → 2. Étudier la différentiabilité de f en 0. 13 Soit f une application de ‫ޒ‬n dans ‫ ޒ‬telle que : (1) ∀ x ʦ ‫ޒ‬n, ∀ t > 0, f(tx) ϭ tf(x).

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